以下内容は、iOS/Androidの仕様に依存致します。

最新の仕様については、各プラットフォームのドキュメントをご参照くださいませ。

アプリPUSH通知の開封時の遷移先について

前提として、アプリ内の指定画面に遷移をさせたい場合は、アプリに遷移先URLを処理するための指定の実装が必須 となりますので、ご留意ください。
以下は、その実装が行われてない場合の挙動となります。

iOS

iOSでは、遷移先URL指定の有無にかかわらず、OSの仕様およびアプリの実装に依存します

開く画面は、通知受け取りコールバックの処理実装に依存致します。

Androidでは、遷移先URLを指定しない場合は、ランチャーに登録されたActivityへintentを飛ばします。（ランチャーからアプリアイコンをタップした挙動となります。）

その挙動は完全にアプリの実装に依存します。新規にタスクを開始する、既存のタスクを使い回す等、指定や実装でコントロール可能です。